Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+2滿足f（1）=1，且對(duì)x∈R都有f（x）≥x恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（t）=4t-$\frac{10}{t}$+k（k∈R），對(duì)任意t∈[1，2]，存在x∈[-1，2]，使得g（t）＜f（x），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=1，得方程組，推出b=a+1，由對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥x成立，得不等式a＞0，（b+1）²-8a≤0，由完全平方數(shù)非負(fù)，求得a，b的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）函數(shù)g（t）=4t-$\frac{10}{t}$+k在[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為3+k，f（x）=2x²-3x+2在[-1，2]上的最大值為7，可得不等式，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：a-b+2=1，則b=a+1，
又對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，即ax²-（b+1）x+2≥0，
則必須a＞0，（b+1）²-8a≤0，
即a＞0，a²+4a+4-8a≤0，即（a-2）²≤0，
即有a-2=0，解得a=2，b=3，
∴f（x）=2x²-3x+2；
（Ⅱ）函數(shù)g（t）=4t-$\frac{10}{t}$+k在[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為3+k，f（x）=2x²-3x+2在[-1，2]上的最大值為7，
∵對(duì)任意t∈[1，2]，存在x∈[-1，2]，使得g（t）＜f（x），
∴3+k＜7，
∴k＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及恒成立，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．