Question

8．已知函數(shù)y=-x³+3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的值為±2．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)y=-x³+3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得極大值等于0或極小值等于0，由此可求c的值．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)可得y′=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
令y′＞0，可得-1＜x＜1；令y′＜0，可得x＞1或x＜-1；
∴函數(shù)在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)減，（-1，1）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在x=1處取得極大值，在x=-1處取得極小值，
∵函數(shù)y=-x³+3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴極大值等于0或極小值等于0，
∴-1+3+c=0或1-3+c=0，
∴c=-2或2．
故答案為：±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是利用極大值等于0或極小值等于0．