Question

12．如圖，AB是圓O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交圓O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）若∠CAB=60°，⊙O的半徑為2，EC=1，求DE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，從而OD∥AE，由此能證明DE是圓O的切線．
（2）連結(jié)BC，由已知得AC=2，AE=EC+CA=3，由此利用圓的切割線定理能求出DE的值．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AB是圓O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交圓O于點(diǎn)D，
∴∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE，…（3分）
又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD為半徑，
∴DE是圓O的切線．…（5分）
（2）解：連結(jié)BC，在Rt△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，
∴AC=ABcos60°=2…（7分）
又∵EC=1，∴AE=EC+CA=3，
由圓的切割線定理得：
DE²=CE•EA=3，∴$DE=\sqrt{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的切割線定理的合理運(yùn)用．