Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足△PF₁F₂是等腰三角形．
（1）求該橢圓方程；
（2）過x軸上的一點(diǎn)M（m，0）作一條斜率為k的直線l，與橢圓交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，問是否存在常數(shù)k，使得|MA|²+|MB|²的值與m無關(guān)？若存在，求出這個(gè)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，有$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{{{（a-1）}^2}+{b^2}=4}\end{array}}\right.$，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得：（3+4k²）x²-8k²mx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出|MA|²+|MB|²=7與m無關(guān)符合題意．

解答 （本題15分）
解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，
設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足△PF₁F₂是等腰三角形，
∴根據(jù)題意，有$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{{{（a-1）}^2}+{b^2}=4}\end{array}}\right.$…（4分）
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
故所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程：$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²mx+4m²-12=0
在△＞0的情況下有：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}m}}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$…（9分）
$\begin{array}{l}|MA{|^2}+|MB{|^2}=（1+{k^2}）[{（{x_1}-m）^2}+{（{x_2}-m）^2}]\\=（1+{k^2}）[{（{x_1}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}-2m（{x_1}+{x_2}）+2{m^2}]\\=\frac{{（1+{k^2}）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}[（-24{k^2}+18）{m^2}+96{k^2}+72]\end{array}$
令-24k²+18=0，得${k^2}=\frac{3}{4}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（13分）
此時(shí)|MA|²+|MB|²=7與m無關(guān)符合題意，…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用．