Question

8．試問函數(shù)f（x）=x+cosx是否為周期函數(shù)？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 假設(shè)f（x）為周期函數(shù)，周期為T，則f（x）=f（x+T）恒成立，令x=0和x=π，列出方程組解出T，得出矛盾即可證明f（x）不是周期函數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）=x+cosx不是周期函數(shù)．
證明如下：（反證法）
假設(shè)函數(shù)f（x）的一個周期為T（T≠0），則有f（x+T）=f（x）成立，
即T+cos（x+T）=cosx對一切實(shí)數(shù)x均成立．
分別取x=0和x=π得：$\left\{\begin{array}{l}{T+cosT=1}\\{T-cosT=-1}\end{array}\right.$，
兩式相加得2T=0，即T=0．與T≠0相矛盾．
所以假設(shè)不成立．
∴函數(shù)f（x）=x+cosx不是周期函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)周期的定義，反證法，屬于中檔題．