Question

2．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，BC=1．
（1）若∠B=$\frac{π}{4}$，求AC的長；
（2）若△ABC的周長為$\sqrt{2}$+1，求∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）設△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．運用正弦定理，計算即可得到所求值；
（2）在三角形ABC中，利用正弦定理列出關系式，表示出b與c的值，運用兩角和差的正弦公式，進而表示出三角形周長，整理后即可求出B的度數(shù)．

解答 解：（1）設△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
由正弦定理，可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
即$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{sin\frac{π}{4}}$，解得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即AC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）在△ABC中，利用正弦定理得：$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sin（\frac{2π}{3}-B）}$，
可得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B），
由△ABC的周長為$\sqrt{2}$+1，
可得a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{2}$+1，
sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即有sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即為$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$或B+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$，
則∠ABC=$\frac{π}{12}$或$\frac{7π}{12}$．

點評 此題考查了正弦弦定理，以及三角函數(shù)恒等變換公式的運用，熟練掌握定理是解本題的關鍵，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．