Question

13．如圖，已知多面體A-BCDEF中，ABCD為菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB=AE=1，AF⊥BE．
（I）求證：AF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （I）連AC交BD于O，則由菱形的性質(zhì)的AC⊥BD，由EA⊥平面ABCD得AE⊥BD，故而BD⊥平面ACE，于是BD⊥AF，又AF⊥BE，故AF⊥平面BDE；
（II）由條件得AC=1，由AF⊥平面ACE得AE⊥OE，從而∠AEO=∠CAF，利用兩角的正切值得出CF的長，則多面體的體積為四棱錐B-ACFE體積的2倍．

解答 （Ⅰ）證明：連AC交BD于O，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵AE⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴BD⊥AE，又∵AC?平面ACE，AE?平面ACE，AC∩AE=A，
∴BD⊥面EACF，∵AF?面EACF，
∴BD⊥AF．又AF⊥BE，BD?平面BDE，BE?平面BDE，BD∩BE=B，
∴AF⊥面BDE．
（Ⅱ）解：連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=AE=1，OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵AF⊥面BDE，EO?面BDE，
∴EO⊥AF，
∴∠AEO=90°-∠EAF，∠CAF=90°-∠EAF，
∴∠AEO=∠CAF．
∵tan∠AEO=$\frac{AO}{AE}=\frac{1}{2}$，∴tan∠CAF=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$
∴$FC=\frac{1}{2}$，
∴V_B-ACFE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ACFE}•BO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+\frac{1}{2}）×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
設(shè)所求多面體的體積V=2V_B-ACFE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．