Question

2．在平面直角坐標(biāo)xoy 系中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=2sin2θ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}$（α為參數(shù)）與曲線C所表示的圖形都相切，求r的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化求解即可．
（Ⅱ）消去參數(shù)化簡普通方程，利用相切，列出方程組求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρcosθ=2sin2θ得ρcosθ=4sinθ•cosθ，
∴cosθ=0或ρ=4sinθ，即ρcosθ=0或ρ²=4ρsinθ
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是：x=0或x²+（y-2）²=4；-------（5分）
（Ⅱ）曲線C₁的普通方程為（x-3）²+（y+2）²=r²，
又與與曲線C都相切，則有$\left\{\begin{array}{l}r=3\\{3}^{2}+（2+2）^{2}=（r+2）^{2}\end{array}\right.$，
所以r=3．-----（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查計算能力．