Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，n≥1．
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過a₁+a₂+…+a_n=n²a_n與a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥2），進而利用累乘法計算即得結論；
（2）通過（1）利用裂項相消法并項相加即得結論．

解答 解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，
兩式相減得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥2），
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•a₁
=$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{4}$•$\frac{3}{5}$•…•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）由（1）可知數(shù)列{a_n}的前n項和為：
1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，利用累乘法及裂項相消法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．