Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx-lna（a為常數(shù)，e=2.718…），且函數(shù)y=f（x）在x=0處的切線和y=g（x）在x=a處的切線互相平行．
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）若存在x使不等式$x-m＞\sqrt{x}•f（x）$成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，求出a的值即可；
（Ⅱ）分離出$m＜x-\sqrt{x}{e^x}$，令$h（x）=x-\sqrt{x}{e^x}$，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ） 因為f′（x）=e^x，-----------------------------------（1分）
所以函數(shù)y=f（x）在x=0處的切線的斜率${k_1}={e^0}=1$，-----------------------------------（2分）
又因為$g'（x）=\frac{1}{x}$，-----------------------------------（3分）
所以函數(shù)y=g（x）在x=a處的切線的斜率${k_2}=\frac{1}{a}$，-----------------------------------（4分）
所以，由$\frac{1}{a}=1$，得a=1；-----------------------------------（5分）
（Ⅱ） $x-m＞\sqrt{x}•f（x）$可化為$m＜x-\sqrt{x}{e^x}$，-----------------------------------（6分）
令$h（x）=x-\sqrt{x}{e^x}$，則$h'（x）=1-（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+\sqrt{x}）{e^x}$，-----------------------------------（7分）
因為x＞0，所以$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+\sqrt{x}≥\sqrt{2}$，${e^x}＞1⇒（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+\sqrt{x}）{e^x}＞1$，故h'（x）＜0，-----------------------------------（11分）
所以h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，因此h（x）＜h（0）=0，-----------------------------------（12分）
所以，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）；-----------------------------------（13分）

點評 本題考察了切線方程問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．