Question

16．已知曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)P（2，0）的距離比它到直線x=-4的距離小2．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線過點(diǎn)P（a，0）（a＞0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）依題意知，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于M到直線x=-2的距離，由拋物線的定義求出曲線C的方程；
（II）設(shè)直線l的方程為x=my+a，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)P（2，0）的距離比它到直線x=-4的距離小2，
∴曲線C上的每一點(diǎn)到定點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等，
∴軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線
標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=8x
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+a，代入拋物線方程，可得：y²-8my-8a=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8a，
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}$•a•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•aπ$\sqrt{64{m}^{2}+32a}$≥2a$\sqrt{2a}$，
即m=0，△AOB的面積最小值為2a$\sqrt{2a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．