Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$及實(shí)數(shù)t滿足|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，則t的最大值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 把|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3兩邊平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)以及基本不等式，計(jì)算即可得到t的最大值．

解答 解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，
兩邊平方可得$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）^{2}=9$，
即為${\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow=9$，
即有${\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}=9-2t$，
由${\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}≥2t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$=2t，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$同向時(shí)，取得等號．
得9-2t≥2t，解得t≤$\frac{9}{4}$．
即有t的最大值為$\frac{9}{4}$．
故答案為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查基本不等式求最值，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．