Question

4．已知復(fù)數(shù)Z滿足|Z|=$\sqrt{2}$，Z²的虛部是2．設(shè)Z，Z²，Z-Z²在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，則△ABC的面積為4或1．

Answer 1

分析 寫出所給的三個(gè)復(fù)數(shù)的表示式，根據(jù)代數(shù)形式的表示式寫出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求出三角形的面積．

解答 解：設(shè)Z=x+yi（x，y∈R），由題意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{2}}&{①}\\{2xy=1}&{②}\end{array}\right.$
故（x-y）²=0，∴x=y將其代入②得2x²=2，
∴x=±1
故 $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}\right.$
故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）當(dāng)Z=1+i時(shí)，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴$|{AC}|=2，{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×2=1$
當(dāng)Z=-1-i時(shí)，Z²=2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，2），C（-1，3），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
即△ABC的面積為4或1，
故答案為：4或1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，根據(jù)條件先求出復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．