Question

3．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，橢圓C₂的中心在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，與C₁有相同的離心率，且過橢圓C₁的長軸端點．
（Ⅰ）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A，B分別在橢圓C₁和C₂上，若$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)橢圓C₂的方程為：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{4}=1（a＞2）$，由C₁方程可得$\frac{{{a^2}-4}}{a^2}=\frac{3}{4}$，計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$及（Ⅰ）知可設(shè)直線AB的方程為y=kx，并分別代入兩橢圓中、利用$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）由C₁方程可得$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
依題意可設(shè)橢圓C₂的方程為：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{4}=1（a＞2）$，
由已知C₁的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則有$\frac{{{a^2}-4}}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得a²=16，
故橢圓C₂的方程為$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$及（Ⅰ）知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，
因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx，
將y=kx代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，解得${x_1}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$；
將y=kx代入$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$中，解得${x_2}^2=\frac{16}{{4+{k^2}}}$．
又由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，得${x_2}^2=4{x_1}^2$，
即$\frac{16}{{1+4{k^2}}}=\frac{16}{{4+{k^2}}}$，解得k=±1．
故直線AB的方程為y=x或y=-x．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．