Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）+B．其中A＞0，B∈R，且當(dāng)x∈[0，$\frac{7π}{12}$]時，f（x）的值域是[-2，1]．
（1）求A與B的值，并作出f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}π$]上的圖象；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-c=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不相等的實根，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計算f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{12}$]上的值域，求出A、B的值，根據(jù)f（x）的解析式畫出f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}π$]上的圖象；
（2）在同一坐標(biāo)系中畫出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的圖象和y=c的圖象，結(jié)合圖象求出方程f（x）-c=0有兩個不相等的實根的c的取值范圍．

解答 解：（1）在函數(shù)f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）+B中，A＞0，B∈R，
當(dāng)x∈[0，$\frac{7π}{12}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，π]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-$\frac{1}{2}$A+B≤Asin（2x-$\frac{π}{6}$）+B≤A+B；
又函數(shù)f（x）的值域是[-2，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}A+B=-2}\\{A+B=1}\end{array}\right.$，
解得A=2，B=-1；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
且x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}$π]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[0，2π]，
∴畫出f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}π$]上的圖象，
如圖所示：

（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
在同一坐標(biāo)系中畫出f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1在[0，$\frac{π}{2}$]的圖象和y=c的圖象，
如圖所示：

則關(guān)于x的方程f（x）-c=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不相等的實根，
c的取值范圍是0≤c＜1．

點評 本題考查了三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，是綜合性題目．