Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）（a＞0）．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）-a在點(diǎn)x=1處的切線為l，求l恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程，即可得到恒過的定點(diǎn)；
（2）求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，對a討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）-a=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$-a，
即有在點(diǎn)x=1處的切線斜率為k=1-a，切點(diǎn)為（1，-a），
則在點(diǎn)x=1處的切線方程為y+a=（1-a）（x-1），
即為y=（1-a）x-1，當(dāng)x=0時，y=-1，
故l恒過定點(diǎn)（0，-1）；
（2）由（1）知，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），
當(dāng)e＜$\frac{1}{a}$，即0＜a＜$\frac{1}{e}$，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞增，
∴x=e時，f（x）_max=lne-a（e-1）；
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤e，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞增，
在[$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{1}{a}$時，f（x）_max=-lna-1+a；
當(dāng)e＞$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{e}$，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{1}{e}$時，f（x）_max=-1-a（$\frac{1}{e}$-1）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查求切線的方程和函數(shù)的單調(diào)性與最大值的求法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．