Question

9．若對(duì)任意x∈[-1，1]，x³-3ax+a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\left\{{\frac{1}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，然后求解a的范圍．

解答 解：令f（x）=x³-3ax+a，x∈[-1，1]，
f′（x）=3x²-3a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在區(qū)間[-1，1]單調(diào)增，
f（x）_min=f（-1）=4a-1≥0，
解得$a≥\frac{1}{4}$與a≤0矛盾，故舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=3x²-3a=0，解得$x=±\sqrt{a}$，
①當(dāng)$\sqrt{a}＜1$時(shí)，f（x）在$[{-1，-\sqrt{a}}]$單調(diào)增，在$[{-\sqrt{a}，\sqrt{a}}]$單調(diào)減，在$[{\sqrt{a}，1}]$單調(diào)增，
f（x）在$x=\sqrt{a}$上取得極小值，
故不等式要成立只需滿足，f（-1）=4a-1≥0且$f（{\sqrt{a}}）=a-2a\sqrt{a}≥0$，
解得$a=\frac{1}{4}$．
①當(dāng)$\sqrt{a}＞1$，即a＞1時(shí)，f（x）在[-1，1]單調(diào)減，f（x）_min=f（1）=1-2a≥0，可得a$≤\frac{1}{2}$，舍去．
綜上a=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\left\{\frac{1}{4}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．