Question

15．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，則$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$的最大值是5．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為60°，由（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0可知向量C的終點(diǎn)在以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的終點(diǎn)連線為直徑的圓上，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y）代入數(shù)量積的坐標(biāo)公式得出函數(shù)的最大值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×2×cosθ=2，
∴cos$θ=\frac{1}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$．
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$）.$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}$
∵（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，即C的軌跡為以AB為直徑的圓．
∴C的軌跡方程為（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
設(shè)C（x，y），則$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=2x．
∴當(dāng)x取得最大值$\frac{5}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$取得最大值5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合圖形及向量的幾何意義得出C的軌跡是關(guān)鍵．