Question

7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對任意的t∈[-1，2]，不等式f（2t²+1）＜f（kt）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求a，b的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)
∴f（0）=0，即$\frac{b-1}{1+a}=0$得b-1=0，b=1，
此時(shí)f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
則有f（-1）=-f（1）得
則$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，
即$\frac{1}{1+2a}$=$\frac{1}{2+a}$，得1+2a=2+a，得a=1，
即 a=1，b=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=\frac{2}{{{2^x}+1}}-1$為單調(diào)遞減函數(shù)，
故kt＜2t²+1
當(dāng)t∈[-1，0）時(shí)，$k＞\frac{{2{t^2}+1}}{t}=2t+\frac{1}{t}$，所以  $k＞-2\sqrt{2}$
當(dāng)t=0時(shí)，1＞0所以  k∈R
當(dāng)t∈[0，2）時(shí)，$k＜\frac{{2{t^2}+1}}{t}=2t+\frac{1}{t}$，所以  $k＜2\sqrt{2}$
綜上，$-2\sqrt{2＜}k＜2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．