Question

16．在拋物線y=x²+ax-5（a≠0）上取橫坐標(biāo)為x₁=-4，x₂=2的兩點(diǎn)A，B，過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線，拋物線在點(diǎn)Q平行于該割線的一條切線同時(shí)與圓5x²+5y²=36相切
（1）求切點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)       
（2）求切線和坐標(biāo)軸所圍三角形面積．

Answer 1

分析 （1）求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用直線方程的點(diǎn)斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，可得切線方程，即可求切線和坐標(biāo)軸所圍三角形面積．

解答 解：（1）兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，11-4a）；（2，2a-1）
兩點(diǎn)連線的斜率k=a-2，
對(duì)于y=x²+ax-5，y′=2x+a
∴2x+a=a-2，解得x=-1，
∴切點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-1；
（2）在拋物線上的切點(diǎn)為（-1，-a-4）
切線方程為（a-2）x-y-6=0
直線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離=圓半徑，即$\frac{6}{\sqrt{（a-2）^{2}+1}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$
解得a=4或0（0舍去）
所以切線方程為2x-y-6=0
與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6）（3，0）
∴所圍三角形面積為$\frac{1}{2}×6×3$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)連線的斜率公式、考查導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率、考查直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑．