Question

18．已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（2，0），且圓心為M（1，m）（m＞0）的圓和圓C外切，也與直線l₁、l₂都相切．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓M的半徑為r，圓M與都過點A（2，0）的相互垂直的兩條直線l₁，l₂相切，則圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為$\sqrt{2}r$，列出方程組求出m，r，由此能求出圓M的方程．
（Ⅱ）設(shè)l₁方程為y=k（x-2），由直線與圓相切的性質(zhì)及點到直線距離公式求出斜率k，由此能求出直線l₁的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓M的半徑為r，圓M與都過點A（2，0）的相互垂直的兩條直線l₁，l₂相切，
則圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為$\sqrt{2}r$，
則$\left\{\begin{array}{l}{|MA{|}^{2}=（1-2）^{2}+{m}^{2}=2{r}^{2}}\\{|MC{|}^{2}=（1+2）^{2}+{m}^{2}=（2+r）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$r=2，m=\sqrt{7}$，
故圓M的方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{7}$）²=4．
（Ⅱ）由題意直線l₁的斜率存在，設(shè)斜率為k，則l₁方程為y=k（x-2），
則圓心M到直線l₁的距離為$\frac{|k（1-2）-\sqrt{7}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴3k²-2$\sqrt{7}$k-3=0，解得k=$\frac{\sqrt{7}±4}{3}$，
∴l(xiāng)₁的方程為$y=\frac{\sqrt{7}+4}{3}（x-2）$或y=$\frac{\sqrt{7}-4}{3}（x-2）$．

點評 本題考查圓的方程和直線方程的求法，則中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．