Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a=（2cosx，-2sinx）$，$\overrightarrow b=（3cosx，\sqrt{3}cosx）$，其中x∈R．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最大值及此時(shí)x取值的集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和圖象對稱中心點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出最值；
（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱中心即可求出．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$=$3cos2x-\sqrt{3}sin2x+3=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x）+3$=$2\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{6}）+3$，
則當(dāng)$cos（2x+\frac{π}{6}）=1$時(shí)，即$2x+\frac{π}{6}=2kπ$，
也即$x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）$時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$2\sqrt{3}+3$，
此時(shí)x取值的集合為$\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）}\right.}\right\}$；
（2）∵要求函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{6}）+3$的單調(diào)增區(qū)間，
∴$2kπ+π＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+2π$，即$kπ+\frac{5π}{12}＜x＜kπ+\frac{11π}{12}（k∈Z）$，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}）（其中k∈Z）$，
又令f（x）=3，則$cos（2x+\frac{π}{6}）=0$，
即$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，也即$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
則圖象對稱中心點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，3）（其中k∈Z）$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．