Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+a}{{x}^{2}}$為偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）記集合A={y|y=f（x），x∈{1，-2，3}}，p=（lg2）²+lg2lg5+lg5+$\frac{1}{4}$，判斷p與集合A的關(guān)系；
（3）當(dāng)x∈[m，n]（m＞0，n＞0）時(shí)，若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{2}{m}$+2，-$\frac{n}{8}$+1]，求實(shí)數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）求出集合A，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，求出p的值，根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x），
即$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+a}{{x}^{2}}$，
即x²-（a+1）x+a=x²+a（x+1）+a，
即-（a+1）=a+1，
即a+1=0，解得，a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）=$\frac{4-1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）=$\frac{9-1}{9}$=$\frac{8}{9}$；
故A={0，$\frac{3}{4}$，$\frac{8}{9}$}；
而p=（lg2）²+lg2lg5+lg5+$\frac{1}{4}$
=lg2（lg2+lg5）+lg5+$\frac{1}{4}$
=lg2+lg5+$\frac{1}{4}$
=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
故p∉A；
（3）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
∵x∈[m，n]（m＞0，n＞0）時(shí)，若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{2}{m}$+2，-$\frac{n}{8}$+1]，
∴${\left\{\begin{array}{l}{f（m）=1-\frac{1}{{m}^{2}}=-\frac{2}{m}+2}\\{f（n）=1-\frac{1}{{n}^{2}}=-\frac{n}{8}+1}\end{array}\right.}^{\;}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{m}）^{2}-\frac{2}{m}+1=0}\\{（\frac{1}{n}）^{2}-\frac{n}{8}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{m}-1）^{2}=0}\\{{n}^{3}=8}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，元素和集合關(guān)系的判斷，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．