Question

19．如圖，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，過點(diǎn)P（1，0）作直線AB分別與OA、OB交于A、B．
（Ⅰ）當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程；
（Ⅱ）當(dāng)AB的中點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{2}$x上時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意直線AB的斜率不為0，因?yàn)檫^點(diǎn)P，故可設(shè)為：x=my+1，分別與射線OA、OB聯(lián)立，求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求解即可．
（Ⅱ）同（Ⅰ）求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{2}$x上，代入求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，可得射線OA：x-y=0（x≥0），OB：$\sqrt{3}$x+3y=0（x≥0），
由題意直線AB的斜率不為0，因?yàn)檫^點(diǎn)P，故可設(shè)為：x=my+1，
分別與射線OA、OB聯(lián)立，得A（$\frac{1}{1-m}$，$\frac{1}{1-m}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）
因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式$\frac{1}{1-m}$-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$=0，解得m=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
所以直線AB的方程為：2x-（1-$\sqrt{3}$）y-2=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為：（$\frac{\frac{1}{1-m}+\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{\frac{1}{1-m}-\frac{1}{m+\sqrt{3}}}{2}$），
因?yàn)锳B的中點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{2}$x上，所以$\frac{\frac{1}{1-m}-\frac{1}{m+\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{1}{1-m}+\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}}{2}$，
解得：m=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，所以直線AB的方程為：3x-（3-$\sqrt{3}$）y-3=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及求直線方程問題，考查運(yùn)算能力．