Question

15．甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為3萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x+0.2（0≤x≤5）}\\{11.2（x＞5）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
（1）寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；
（2）甲廠生產(chǎn)多少臺(tái)新產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）=R（x）-G（x），對(duì)x討論0≤x≤5，x＞5即可得到；
（2）分別討論0≤x≤5，x＞5的函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意得G（x）=3+x，
由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x+0.2（0≤x≤5）}\\{11.2（x＞5）}\end{array}\right.$，
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8，0≤x≤5}\\{8.2-x，x＞5}\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)x＞5時(shí)，∵函數(shù)y=f（x）遞減，
∴f（x）＜8.2-5=3.2（萬(wàn)元），
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值為3.6（萬(wàn)元）．
答：當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)時(shí)，可使贏利最大為3.6（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的求法和運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎(chǔ)題．