Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲線y=f（x）在點（e²，f（e²））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{k{x}^{2}}{x-1}$無零點，求k的取值范圍．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）可得g（x），函數(shù)g（x）無零點，即要$\frac{2}{lnx}=\frac{kx}{x-1}$在x∈（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)無解，亦即要$klnx-\frac{2（x-1）}{x}=0$在x∈（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)無解．構(gòu)造函數(shù)$h（x）=klnx-\frac{2（x-1）}{x}⇒h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}$．對k討論，運用單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理，即可得到k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\frac{mx}{lnx}$的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=\frac{m（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，
又由題意有：$f'（{e^2}）=\frac{1}{2}$$⇒\frac{2m}{4}=\frac{1}{2}⇒m=2$，
故$f（x）=\frac{2x}{lnx}$．
此時$f'（x）=\frac{2（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，由f'（x）≤0⇒0＜x＜1或1＜x≤e，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e]．
（Ⅱ） $g（x）=f（x）-\frac{{k{x^2}}}{x-1}$$⇒g（x）=x（\frac{2}{lnx}-\frac{kx}{x-1}）$，且定義域為（0，1）∪（1，+∞），
要函數(shù)g（x）無零點，即要$\frac{2}{lnx}=\frac{kx}{x-1}$在x∈（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)無解，
亦即要$klnx-\frac{2（x-1）}{x}=0$在x∈（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)無解．
構(gòu)造函數(shù)$h（x）=klnx-\frac{2（x-1）}{x}⇒h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}$．
①當k≤0時，h'（x）＜0在x∈（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)恒成立，
所以函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，h（x）在（1，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞減．
又h（1）=0，所以在（0，1）內(nèi)無零點，
在（1，+∞）內(nèi)也無零點，故滿足條件；                     
②當k＞0時，$h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}⇒h'（x）=\frac{{k（x-\frac{2}{k}）}}{x^2}$，
（1）若0＜k＜2，則函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
在$（1，\frac{2}{k}）$內(nèi)也單調(diào)遞減，在$（\frac{2}{k}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增．
又h（1）=0，所以在（0，1）內(nèi)無零點；
易知$h（\frac{2}{k}）＜0$，而$h（{e^{\frac{2}{k}}}）=k•\frac{2}{k}-2+\frac{2}{{{e^{\frac{2}{k}}}}}＞0$，
故在$（\frac{2}{k}，+∞）$內(nèi)有一個零點，所以不滿足條件；
（2）若k=2，則函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
又h（1）=0，所以x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h（x）＞0恒成立，故無零點，滿足條件；
（3）若k＞2，則函數(shù)h（x）在$（0，\frac{2}{k}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在$（\frac{2}{k}，1）$內(nèi)單調(diào)遞增，
在（1，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增．又h（1）=0，所以在$（\frac{2}{k}，1）$及（1，+∞）內(nèi)均無零點．
又易知$h（\frac{2}{k}）＜0$，而h（e^-k）=k•（-k）-2+2e^k=2e^k-k²-2，
又易證當k＞2時，h（e^-k）＞0，
所以函數(shù)h（x）在$（0，\frac{2}{k}）$內(nèi)有一零點，故不滿足條件．
綜上可得：k的取值范圍為：k≤0或k=2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，分類討論的思想方法，以及函數(shù)零點存在定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．