Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{ωx}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，ω＞0．
（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若$f（\frac{π}{3}）=1$，求f（x）的最小正周期T的表達式并指出T的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當ω=1時，利用兩角和與差以及二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）化簡函數(shù)的解析式為：f（x）=$sin（ωx+\frac{π}{3}）$．通過$f（\frac{π}{3}）=1$，求出$ω=6n+\frac{1}{2}$．然后求解T的最大值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當ω=1時，$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$=$sin（x+\frac{π}{3}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}{，^{\;}}k∈Z$．
解得$2kπ-\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{π}{6}{，^{\;}}k∈Z$．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}]，k∈Z$．…（7分）
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{ωx}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sinωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosωx$=$sin（ωx+\frac{π}{3}）$．
因為$f（\frac{π}{3}）=1$，所以$sin（\frac{πω}{3}+\frac{π}{3}）=1$．
則$\frac{πω}{3}+\frac{π}{3}=2nπ+\frac{π}{2}$，n∈Z．
解得$ω=6n+\frac{1}{2}$．
又因為函數(shù)f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}$，且ω＞0，
所以當ω=$\frac{1}{2}$時，T的最大值為4π． …（13分）

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)的應用，考查計算能力．