Question

12．如圖，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和拋物線C₂：y²=2px（p＞0）都經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），且橢圓C₁的右焦點(diǎn)和拋物線C₂的焦點(diǎn)F₂相同．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）過F₂作斜率為k的直線l和拋物線C₂相交于A，B兩點(diǎn)，直線l和橢圓C₁相交于C，D兩點(diǎn)，如圖，當(dāng)△CDF₁的面積和△ABO的面積相等時(shí)，求斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入拋物線C₂：y²=2px，求出p，可得拋物線的方程，利用橢圓的定義，可得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線方程為x=my+1，與拋物線C₂：y²=4x、橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立，利用△CDF₁的面積和△ABO的面積相等，建立方程，求出m，即可求斜率k的值．

解答 解：（1）點(diǎn)M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入拋物線C₂：y²=2px，可得（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）²=2p×$\frac{2}{3}$，∴p=2，
∴拋物線C₂：y²=4x，焦點(diǎn)F₂（1，0），
|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$+$\sqrt{（-\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=4=2a，
∴a=2，∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)直線方程為x=my+1，則
與拋物線C₂：y²=4x聯(lián)立，可得y²-4my-4=0，∴△ABO的面積=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16{m}^{2}+16}$=2$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立，可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴△CDF₁的面積=$\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$，
∴$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$=2$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、橢圓的方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查面積的計(jì)算，屬于中檔題．