Question

14．霧霾天氣嚴重影響我們的生活，加強環(huán)境保護是今年兩會關注的熱點，我國的《環(huán)境空氣質量標準》指出空氣質量指數在0-50為優(yōu)秀，各類人群可正常活動．某市環(huán)保局對全市2014年進行為期一年的空氣質量監(jiān)測，得到每天的空氣質量指數，從中隨機抽50個作為樣本進行分析報告，樣本數據分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的空氣質量指數頻率分布直方圖，如圖．

（1）求a的值；
（2）根據樣本數據，試估計這一年的空氣質量指數的平均值；
（3）如果空氣質量指數不超過15，就認定空氣質量為“特優(yōu)等級”，則從這一年的監(jiān)測數據中隨機抽取3天的數值，其中達到“特優(yōu)等級”的天數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖可得樣本數據在各組的頻率，再由頻率和為1求得a值；
（2）直接由每個矩形中點的橫坐標乘以頻率作和得答案；
（3）求出“特優(yōu)等級”的天數ξ的值，利用二項分布求出概率，列出頻率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可得，樣本數據在（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]的頻率分別為：0.18，0.32，10a，0.20，
由0.18+0.32+10a+0.20=1，得：a=0.03；
（2）這一年的空氣質量指數的平均值為：10×0.18+20×0.32+30×0.3+40×0.20=25.2；
（3）利用樣本估計總體，該年度空氣質量指數在（5，15]內為特優(yōu)等級，
且指數達到“特優(yōu)等級”的概率為0.18．
從這一年的監(jiān)測數據中，隨機抽取3天，其中達到“特優(yōu)等級”的天數ξ的值分別為：0，1，2，3．
則P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{41}{50}）^{3}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{9}{50}）（\frac{41}{50}）^{2}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{9}{50}）^{2}（\frac{41}{50}）$，P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{9}{50}）^{3}$，
則ξ：B（3，$\frac{9}{50}$），
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	${C}_{3}^{0}（\frac{41}{50}）^{3}$	${C}_{3}^{1}（\frac{9}{50}）（\frac{41}{50}）^{2}$	${C}_{3}^{2}（\frac{9}{50}）^{2}（\frac{41}{50}）$	${C}_{3}^{3}（\frac{9}{50}）^{3}$

Eξ=3×$\frac{9}{50}=\frac{27}{50}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖，考查了離散型隨機變量的期望的應用，離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的平均值，是中檔題．