Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≤0}\\{|{x}^{2}-4x+1|．x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f²（x）-axf（x）恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，3）
• B． （1，3）
• C． （2，3）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為：方程f（x）=0，或f（x）-ax=0，共有6個(gè)不同的解，其中前一方程有3解，所以后一方程有三解，故采用數(shù)形結(jié)合法求解．

解答 解：令g（x）=f²（x）-axf（x）=0，
則f（x）=0，或f（x）-ax=0，
①當(dāng)f（x）=0時(shí)，即3x+1=0或x²-4x+1=0，
解得x=-$\frac{1}{3}$，x=2-$\sqrt{3}$，x=2+$\sqrt{3}$，即有三個(gè)零點(diǎn)，
②當(dāng)f（x）-ax=0，即f（x）=ax，
∵x=0時(shí)，f（0）=1≠0，即x≠0，
∴方程$\frac{f（x）}{x}$=a有三個(gè)根，
當(dāng)x＜0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$=3+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$=|x+$\frac{1}{x}$-4|，
分別畫出y=$\frac{f（x）}{x}$（紫線）與y=a的圖象，如右圖所示，
由圖可知，當(dāng)a∈（2，3）時(shí)，兩函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
綜合以上討論得，當(dāng)a∈（2，3）時(shí)，原函數(shù)g（x）有六個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，應(yīng)用了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合和分類討論的解題思想，屬于中檔題．