Question

已知函數(shù)cos²x+asinx-a²+2a+5有最大值7，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：通過平方關(guān)系結(jié)合換元法，配方法得f（t）=-t²+at-a²+2a+6，對(duì)a分a＜-2，-2≤a≤2，a＞2討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可求出a的值．

解答： 解：y=1-sin²x+asinx-a²+2a+5，令sinx=t，
則y=f（t）=-t²+at-a²+2a+6，t∈[-1，1]，對(duì)稱軸為t=

a

2

，
當(dāng)

a

2

＜-1時(shí)，即a＜-2，y_max=f（-1）=-a²+a+5=7，△＜0，方程無解；
當(dāng)-1≤

a

2

≤1時(shí)，即-2≤a≤2，y_max=f（

a

2

）=-

3

4

a²+2a+6=7，此時(shí)a=2或

2

3

．
當(dāng)

a

2

＞1時(shí)，即a＞2，y_max=f（1）=-a²+3a+5=7，此時(shí)a=1或2，均不成立．
所以a=2或

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分類討論思想，配方法的應(yīng)用，注意三角函數(shù)的有界性，是本題的關(guān)鍵．