16.已知函數(shù)$f(x)=|{2-\frac{1}{x}}|(x>0)$.
(1)當(dāng)0<a<b且f(a)=f(b)時(shí),①求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的值;②求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范圍;
(2)已知函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,若存在區(qū)間[m,n]⊆D,當(dāng)x∈[m,n]時(shí),g(x)的值域?yàn)閇m,n],則稱(chēng)函數(shù)g(x)是D上的“保域函數(shù)”,區(qū)間[m,n]叫做“等域區(qū)間”.試判斷函數(shù)f(x)是否為(0,+∞)上的“保域函數(shù)”?若是,求出它的“等域區(qū)間”;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)①f(x)在$(0,\frac{1}{2})$上為減函數(shù),在$(\frac{1}{2},+∞)$上為增函數(shù),當(dāng)0<a<b且f(a)=f(b)時(shí),$0<a<\frac{1}{2}<b$,且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}$,即可求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的值;②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}$,代入,利用配方法求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范圍;
(2)假設(shè)存在[m,n]⊆(0,+∞),當(dāng)x∈[m,n]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇m,n],則m>0.$f(\frac{1}{2})=0$,可得$\frac{1}{2}∉[m,n]$.利用分類(lèi)討論,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)由題意,$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-2,0<x<\frac{1}{2}\\ 2-\frac{1}{x},x≥\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
∴f(x)在$(0,\frac{1}{2})$上為減函數(shù),在$(\frac{1}{2},+∞)$上為增函數(shù).          …(1分)
①∵0<a<b,且f(a)=f(b),
∴$0<a<\frac{1}{2}<b$,且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}$,
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}=4$.…(3分)
②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}$,
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}={(4-\frac{1})^2}+\frac{2}{b^2}=\frac{3}{b^2}-\frac{8}+16=3{(\frac{1}-\frac{4}{3})^2}+\frac{32}{3}$,
∵$0<\frac{1}<2$,∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}∈[\frac{32}{3},16)$.…(5分)
(2)假設(shè)存在[m,n]⊆(0,+∞),當(dāng)x∈[m,n]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇m,n],則m>0.
∵$f(\frac{1}{2})=0$,∴$\frac{1}{2}∉[m,n]$.…(7分)
①若$0<m<n<\frac{1}{2}$,∵f(x)在$(0,\frac{1}{2})$上為減函數(shù),
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}-2=n\\ \frac{1}{n}-2=m.\end{array}\right.$解得$m=n=\sqrt{2}-1$或$m=n=-\sqrt{2}-1$,不合題意.…(9分)
②若$\frac{1}{2}<m<n$,∵f(x)在$(\frac{1}{2},+∞)$上為增函數(shù),
∴$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{1}{m}=m\\ 2-\frac{1}{n}=n.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=1.\end{array}\right.$不合題意.…(11分)
綜上可知,不存在[m,n]⊆(0,+∞),當(dāng)x∈[m,n]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇m,n],即f(x)不是(0,+∞)上的“保域函數(shù)”.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了新的定義,以及函數(shù)的值域,同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.將函數(shù)$f(x)=3sin(ωx-\frac{π}{5})(ω>0)$的圖象向左平移$\frac{π}{5ω}$個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在$[0,\frac{π}{4}]$上為增函數(shù),則ω的最大值為(  )
A.2B.$\frac{π}{5}$C.3D.$\frac{2π}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.若圓C與圓(x+2)2+(y-1)2=1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則圓C的方程是(  )
A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

4.函數(shù)$y=tan(2x+\frac{π}{6})$的最小正周期為$\frac{π}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

11.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)的部分圖象如圖所示,則該函數(shù)的解析式為f(x)=$3sin(\frac{π}{4}x+\frac{π}{4})$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=-1+i2015(i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知$sinα=\frac{3}{5}$,且α是第一象限角.
(1)求cosα的值;
(2)求tan(π+α)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.已知實(shí)數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$,目標(biāo)函數(shù)z=x+ay.
(1)當(dāng)a=-2時(shí),求目標(biāo)函數(shù)z的取值范圍;
(2)若使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),求$\frac{y}{x-a}$的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,4),則sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案