Question

16．已知函數(shù)$f（x）=|{2-\frac{1}{x}}|（x＞0）$．
（1）當(dāng)0＜a＜b且f（a）=f（b）時(shí)，①求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的值；②求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范圍；
（2）已知函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇m，n]，則稱(chēng)函數(shù)g（x）是D上的“保域函數(shù)”，區(qū)間[m，n]叫做“等域區(qū)間”．試判斷函數(shù)f（x）是否為（0，+∞）上的“保域函數(shù)”？若是，求出它的“等域區(qū)間”；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上為減函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜b且f（a）=f（b）時(shí)，$0＜a＜\frac{1}{2}＜b$，且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}$，即可求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的值；②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}$，代入，利用配方法求$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的取值范圍；
（2）假設(shè)存在[m，n]⊆（0，+∞），當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇m，n]，則m＞0.$f（\frac{1}{2}）=0$，可得$\frac{1}{2}∉[m，n]$．利用分類(lèi)討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-2，0＜x＜\frac{1}{2}\\ 2-\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
∴f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上為減函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上為增函數(shù)．          …（1分）
①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴$0＜a＜\frac{1}{2}＜b$，且$\frac{1}{a}-2=2-\frac{1}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}=4$．…（3分）
②由①知$\frac{1}{a}=4-\frac{1}$，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}={（4-\frac{1}）^2}+\frac{2}{b^2}=\frac{3}{b^2}-\frac{8}+16=3{（\frac{1}-\frac{4}{3}）^2}+\frac{32}{3}$，
∵$0＜\frac{1}＜2$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}∈[\frac{32}{3}，16）$．…（5分）
（2）假設(shè)存在[m，n]⊆（0，+∞），當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇m，n]，則m＞0．
∵$f（\frac{1}{2}）=0$，∴$\frac{1}{2}∉[m，n]$．…（7分）
①若$0＜m＜n＜\frac{1}{2}$，∵f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}-2=n\\ \frac{1}{n}-2=m.\end{array}\right.$解得$m=n=\sqrt{2}-1$或$m=n=-\sqrt{2}-1$，不合題意．…（9分）
②若$\frac{1}{2}＜m＜n$，∵f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{1}{m}=m\\ 2-\frac{1}{n}=n.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=1.\end{array}\right.$不合題意．…（11分）
綜上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函數(shù)”．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了新的定義，以及函數(shù)的值域，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．