Question

5．已知實(shí)數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求目標(biāo)函數(shù)z的取值范圍；
（2）若使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，求$\frac{y}{x-a}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-2時(shí)，z=x-2y，由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，平移直線進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，求出a=-1，利用直線斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，z=x-2y，由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，過點(diǎn)C時(shí)，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（4，2）．此時(shí)z=4-2×2=4-4=0，
當(dāng)直線與x-2y-2=0重合時(shí)，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此時(shí)z最大，
此時(shí)z=2，即0≤z≤2．
（2）若a＞0，由題意知最優(yōu)解應(yīng)該在線段BC上取得，但此時(shí)取到的最大值不滿足條件．
當(dāng)a=0，不滿足條件．
若a＜0，最優(yōu)解應(yīng)該在線段AC上取得，故直線x+ay=0與AC平行，
則k_AC=1=-$\frac{1}{a}$，得a=-1．
$\frac{y}{x-a}$=$\frac{y}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（-1，0）的斜率，
由圖象知當(dāng)點(diǎn)與C（4，2）重合時(shí)，$\frac{y}{x+1}$取得最大值$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義利用平移法以及直線斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．