Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x≤a}\\{g（x-1）-1}&{x＞a}\end{array}\right.$，關(guān)于x的方程g（x）=t對(duì)于任意的t＜1都恰有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a取值集合是{2}．

Answer 1

分析 通過當(dāng)x≤a時(shí)，求出g（x，當(dāng)a＜x≤a+1時(shí)，得到g（x）在（a，a+1]上的圖象，然后分析判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)x≤a時(shí)，g（x）=f（x）=-x²+2x，當(dāng)a＜x≤a+1時(shí)，a-1＜x-1≤a，
g（x-1）=f（x-1），又因?yàn)間（x）=g（x-1）-1．所以g（x）=f（x-1）-1，將
y=-x²+2x向右平移1單位，在向下平移1單位，可得y=-（x-2）²，可得g（x）在（a，a+1]上的圖象，如圖所示，
注意到點(diǎn)（2，0）在y=-x²+2x上，要使?t＜1，g（x）=t只有兩解，當(dāng)a＞2或a＜2時(shí)，g（x）=t的解的個(gè)數(shù)不等于2個(gè)，不符合題意，
所以a=2，
又因?yàn)間（2）=0，g（3）=-1，所以可以保證在其余的位置當(dāng)?t＜1時(shí)，g（x）=t只有兩解．
故答案為：{2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查計(jì)算能力．