Question

16．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（n+1）•2ⁿ，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$對(duì)?n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$（-\frac{1}{4}，\frac{2}{5}）$．

Answer 1

分析 S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$對(duì)?n∈N^*恒成立，
轉(zhuǎn)化為（-1）ⁿλ＜$\frac{n}{2（n+1）}$對(duì)?n∈N^*恒成立，對(duì)n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{n•{2}^{n+1}}{（n+1）•{2}^{n+2}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$對(duì)?n∈N^*恒成立，
∴（-1）ⁿλ＜$\frac{n}{2（n+1）}$對(duì)?n∈N^*恒成立，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，λ＜$\frac{2k}{2（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，由數(shù)列$\{\frac{k}{2k+1}\}$單調(diào)遞增，可得：λ＜$\frac{1}{3}$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，-λ＜$\frac{2k-1}{4k}$，由數(shù)列$\{\frac{2k-1}{4k}\}$單調(diào)遞增，可得：-λ＜$\frac{1}{4}$，解得$λ＞-\frac{1}{4}$．
可得：實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$（-\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$．
故答案為：$（-\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．