Question

4．（1）求證：函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì)：若常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在$（0，\sqrt{a}]$上是減函數(shù)，在$[\sqrt{a}，+∞）$上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞0時，函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}$在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義即可證明命題正確．

解答 解：（1）證明：設(shè)x₁＞x₂≥2，則：
f（x₂）-f（x₁）=（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）-（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+（$\frac{4}{{x}_{2}}$-$\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{4{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₂-x₁）（1-$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-4）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＞x₂≥2，∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）；
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}$在[2，+∞）是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞0時，函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}$在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下：設(shè)$\sqrt{a}$≥x₁＞x₂＞0，則：
f（x₂）-f（x₁）=（x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$）-（x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+（$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{a{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₂-x₁）（1-$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-a）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵$\sqrt{a}$≥x₁＞x₂＞0，∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)；
同理可證，函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}$在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．