Question

1．若關于x的方程cos²x-sinx+a=0在[0，π]內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 由題意可得方程t²+t-a-1=0 在[-1，1]上有解，函數(shù)f（t）=t²+t-a-1 的對稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，故有f（0）•f（1）≤0，解此不等式組求得a的取值范圍．

解答 解：∵方程cos²x-sinx+a=0，即sin²x+sinx-a-1=0．
由于x∈[0，π]，∴0≤sinx≤1．
故方程t²+t-a-1=0 在[0，1]上有解．
又方程t²+t-a-1=0 對應的二次函數(shù)f（t）=t²+t-a-1的對稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，
故有f（0）•f（1）≤0，即（a-1）（a+1）≤0．
解得-1≤a≤1．
故答案為：[-1，1]．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．