Question

8．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=4．點(diǎn)B，C在圓O上，且關(guān)于x軸對(duì)稱．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$時(shí)，求$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的值；
（Ⅱ）設(shè)P為圓O上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線PB，PC與x軸分別交于點(diǎn)M，N，證明：|OM|•|ON|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出B，C的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求解即可．
（Ⅱ）設(shè)B（x₀，y₀），P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），然后求解|OM|•|ON|即可．

解答 （Ⅰ）解：因?yàn)辄c(diǎn)B在圓O上，橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$．
不妨設(shè)$B（\sqrt{3}，1）$，由對(duì)稱性知$C（\sqrt{3}，-1）$，（2分）
所以 $\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=3-1=2$．（5分）
（Ⅱ）解：設(shè)B（x₀，y₀），由對(duì)稱性知C（x₀，-y₀），且$x_0^2+y_0^2=4$．（6分）
設(shè)P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），則$x_1^2+y_1^2=4$．（7分）
${l_{PB}}：y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}（x-{x_1}）$，${l_{PC}}：y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}（x-{x_1}）$．（9分）
在上述方程中分別令y=0，解得${x_M}=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}$，${x_N}=\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}$．（11分）
所以 ${x_M}•{x_N}=\frac{x_0^2y_1^2-x_1^2y_0^2}{y_1^2-y_0^2}=\frac{（4-y_0^2）y_1^2-（4-y_1^2）y_0^2}{y_1^2-y_0^2}=4$．
所以|OM|•|ON|=4．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積，斜率在幾何中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．