Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的時邊分別為a，b，c，△ABC的面積記為S，若acosB+bcosA=c•sinC，且S=$\frac{1}{4}$（b²+c²-a²），則角B=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 acosB+bcosA=c•sinC，正弦定理化為sin（A+B）=sinC=sinCsinC，由于C∈（0，π），可得sinC=1，解得C．由S=$\frac{1}{4}$（b²+c²-a²），利用三角形面積及其余弦定理可得：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$•2bccosA，化簡即可得出．

解答 解：∵acosB+bcosA=c•sinC，∴sinAcosB+sinBcosA=sinC•sinC，化為sin（A+B）=sinC=sinCsinC，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴sinC=1，解得C=$\frac{π}{2}$．
∵S=$\frac{1}{4}$（b²+c²-a²），∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$•2bccosA，化為tanA=1，又A為銳角，∴A=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了和差公式、三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．