18.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的時邊分別為a,b,c,△ABC的面積記為S,若acosB+bcosA=c•sinC,且S=$\frac{1}{4}$(b2+c2-a2),則角B=$\frac{π}{4}$.

分析 acosB+bcosA=c•sinC,正弦定理化為sin(A+B)=sinC=sinCsinC,由于C∈(0,π),可得sinC=1,解得C.由S=$\frac{1}{4}$(b2+c2-a2),利用三角形面積及其余弦定理可得:$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$•2bccosA,化簡即可得出.

解答 解:∵acosB+bcosA=c•sinC,∴sinAcosB+sinBcosA=sinC•sinC,化為sin(A+B)=sinC=sinCsinC,
∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴sinC=1,解得C=$\frac{π}{2}$.
∵S=$\frac{1}{4}$(b2+c2-a2),∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$•2bccosA,化為tanA=1,又A為銳角,∴A=$\frac{π}{4}$.
故答案為:$\frac{π}{4}$.

點評 本題考查了和差公式、三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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