Question

1．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜a＜b）的半焦距為c，（a，0），（0，b）為直線l上兩點，已知原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$或2
• C． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出直線l的方程，利用原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，及c²=a²+b²，求出離心率的平方e²，進(jìn)而求出離心率．

解答 解：∵直線l過（a，0），（0，b）兩點，∴直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即 bx+ay-ab=0，
∵原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c．
又c²=a²+b²，∴3e⁴-16e²+16=0，∴e²=4，或e²=$\frac{4}{3}$．
∵a＞b＞0，∴c²=a²+b²＜2a²，
∴e=$\frac{c}{a}$$＜\sqrt{2}$，故離心率為e=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．