Question

1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$時(shí)，當(dāng)n=1左邊所得的項(xiàng)是$\frac{1}{2}$；從”k→k+1”需增添的項(xiàng)是$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．

Answer 1

分析 把n=1代入即可求出，由數(shù)學(xué)歸納法可知n=k時(shí)，左端為$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$，到n=k+1時(shí)，左端為$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，從而可得答案．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\frac{1}{1（1+1）}$=$\frac{1}{2}$；
②假設(shè)n=k時(shí)，$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{k}{k+1}$等式成立；
那么n=k+1時(shí)，$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
所以從”k→k+1”需增添的項(xiàng)是$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查理解與觀察能力，考查推理證明的能力，屬于中檔題．