Question

11．已知單位向量$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$的夾角為$\frac{π}{3}$，設$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角的大小為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 $|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．利用數(shù)量積運算性質可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$．設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為θ，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，即可得出．

解答 解：∵$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$•$（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$=-6+2+$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=-$\frac{7}{2}$．
$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{4+1+4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
$|\overrightarrow|$=$\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{9+4-12×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．