Question

16．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則f（$\frac{1}{k-1}$）與$\frac{1}{k-1}$大小關(guān)系一定是（　　）

• A． f（$\frac{1}{k-1}$）≥$\frac{1}{k-1}$
• B． f（$\frac{1}{k-1}$）≤$\frac{1}{k-1}$
• C． f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$
• D． f（$\frac{1}{k-1}$）＜$\frac{1}{k-1}$

Answer 1

分析 根據(jù)f′（x）的定義，結(jié)合題意得出$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，令x=$\frac{1}{k-1}$，即可求出f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$．

解答 解：∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，
且f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1；
令x=$\frac{1}{k-1}$，得f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$×k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$；
所以，f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$．
故選：C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，不等式的化簡與運算以及變量的代換問題與應(yīng)用問題，是中檔題目．