Question

9．如圖，過拋物線${C_1}：{x^2}=2py$上的一點Q與拋物線${C_2}：{x^2}=-2py$相切于A，B兩點．若拋物線${C_1}：{x^2}=2py$的焦點F₁到拋物線${C_2}：{x^2}=-2py$的焦點F₂的距離為$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）求證：直線AB與拋物線C₁相切于一點P．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定拋物線的焦點坐標(biāo)，即可求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）求出直線AQ的方程、BQ的方程，AB的方程，即可證明直線AB與拋物線C₁相切于一點P．

解答 （I）解：設(shè)拋物線C₁的焦點坐標(biāo)為${F_1}（0，\frac{p}{2}）$，…（2分）
拋物線C₂的焦點坐標(biāo)為${F_2}（0，-\frac{p}{2}）$…（4分）
則$|{F_1}{F_2}|=p=\frac{1}{2}$…（5分）
所以拋物線C₁的方程為：y=x²．…（6分）
（II）證明：設(shè)點$Q（{x_0}，x_0^2）$，$A（{x_1}，-x_1^2），B（{x_2}，-x_2^2）$
切線AQ的方程是：$y+x_1^2={k_1}（x-{x_1}）$，因為AQ與拋物線${C_1}：y={x^2}$相切，
則${x^2}+{k_1}x-{k_1}{x_1}-x_1^2=0$，
則${△_1}=k_1^2+4{k_1}{x_1}+4x_1^2=0$，則k₁=-2x₁，…（8分）
∴直線AQ的方程是：$y=-2{x_1}x+x_1^2$，
同理BQ的方程是：$y=-2{x_2}x+x_2^2$．…（9分）
聯(lián)立可以得到：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2{x_0}\\{x_1}{x_2}=-x_0^2\end{array}\right.$．…（11分）
而直線AB的方程是：y=-（x₁+x₂）x+x₁x₂，即$y=-2{x_0}x-x_0^2$，…（13分）
聯(lián)立${C_1}：y={x^2}$，可以得到：${x^2}+2{x_0}x+x_0^2=0$，${△_2}=4x_0^2-4x_0^2=0$，
則直線AB與拋物線${C_1}：y={x^2}$相切．…（15分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．