Question

19．在等比數(shù)列{a_n}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_6}+{a_8}+{a_{10}}}}{{{a_7}+{a_9}+{a_{11}}}}$=$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 先根據(jù)等差中項(xiàng)的概念可知得2×（$\frac{1}{2}$a₃）=a₁+2a₂，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式可得q²=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，將q的值代入即可求得答案．

解答 解：依題意可得2×（$\frac{1}{2}$a₃）=a₁+2a₂，
即a₃=a₁+2a₂，整理得q²=1+2q，
求得q=1±$\sqrt{2}$，
∵各項(xiàng)都是正數(shù)，
∴q＞0，q=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{{a_6}+{a_8}+{a_{10}}}}{{{a_7}+{a_9}+{a_{11}}}}$=$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}+{a}_{8}}{（{a}_{6}+{a}_{7}+{a}_{8}）q}=\frac{1}{q}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析的能力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解．學(xué)生在求出q值后應(yīng)根據(jù)等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，舍去不合題意的公比q的值，是基礎(chǔ)題．