Question

9．已知圓O：x²+y²=4，兩個定點(diǎn)A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P為圓O上任意一點(diǎn)，且$\frac{PA}{PB}$=k（k為常數(shù)）．
（1）求A，B的坐標(biāo)及常數(shù)k的值；
（2）過點(diǎn)E（a，t）作直線l與圓C：x²+y²=m交于M、N兩點(diǎn)，若M點(diǎn)恰好是線段NE的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由條件運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，可得圓的方程，再由恒等思想，即可得到所求；
（2）由圓x²+y²=1的參數(shù)方程，可設(shè)N（（cosθ，sinθ），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡整理，運(yùn)用輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由|PA|=k|PB|，（k＞0且k≠1）
可得$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-2）^{2}}$=k$\sqrt{（x-m）^{2}+（y-1）^{2}}$，
平方可得，（k²-1）（x²+y²）+（2a-2k²m）x+（4-2k²）y+k²（m²+1）-a²-4=0，
由P的軌跡方程為x²+y²=4，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-2{k}^{2}m=0}\\{4-2{k}^{2}=0}\\{{k}^{2}（{m}^{2}+1）-{a}^{2}-4=4-4{k}^{2}}\end{array}\right.$，解得k=$\sqrt{2}$，m=1，a=2，
即有A（2，2），B（1，1），k=$\sqrt{2}$；
（2）由圓x²+y²=1的參數(shù)方程，可設(shè)N（cosθ，sinθ），
由M點(diǎn)恰好是線段NE的中點(diǎn)，可得M（$\frac{2+cosθ}{2}$，$\frac{t+sinθ}{2}$），
代入圓方程，可得（$\frac{2+cosθ}{2}$）²+（$\frac{t+sinθ}{2}$）²=1，
化簡可得4cosθ+2tsinθ=-1-t²，
由輔助角公式可得$\sqrt{16+4{t}^{2}}$sin（θ+φ）=-1-t²，
由|sin（θ+φ）|≤1，可得|-1-t²|≤$\sqrt{16+4{t}^{2}}$，
即為t⁴-2t²-15≤0，即有-3≤t²≤5，
解得-$\sqrt{5}$≤t≤$\sqrt{5}$．
則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓方程的求法和運(yùn)用，注意運(yùn)用圓的參數(shù)方程，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．