Question

7．六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
（1）甲不站兩端；
（2）甲、乙必須相鄰；
（3）甲、乙不相鄰；
（4）甲、乙按自左至右順序排隊（可以不相鄰）；
（5）甲、乙站在兩端；
（6）甲乙中間必須間隔兩個同學(xué)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，首先分析甲的情況，易得甲有4種情況，再將剩余的5個人進行全排列，安排在其余5個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，再把甲、乙進行全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，先將甲、乙以外的4人從6個位置中挑選4個位置進行排列共有A₆⁴種，剩下的兩個位置，左邊的就是甲，右邊的就是乙，問題得以解決．
（5）根據(jù)題意，首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，再讓其他4人在中間位置作全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理，由分步計數(shù)原理計算可得答案，
（6）根據(jù)題意，先排甲乙有A₂²種方法，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，方法有A₄²種．把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，方法有A₃³種．根據(jù)分步計數(shù)原理可得答案，

解答 解：（1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A₄¹種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有A₅⁵種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站A₄¹A₅⁵=480（種）．
方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選 2個人站，有A₅²種站法，然后中間4人有A₄⁴種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站法A₅²A₄⁴=480（種）．
方法三：若對甲沒有限制條件共有A₆⁶種法，甲在兩端共有2A₅⁵種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即得所求的站法數(shù)，共有A₆⁶-2A₅⁵=480（種）．
（2）先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，有A₅⁵種站法，再把甲、乙進行全排列，有A₂²種站法，根椐分步計數(shù)原理，共有A₅⁵A₂²=240（種）站法．
（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有A₄⁴種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有A₅²種，故共有站法為A₄⁴A₅²=480（種）．
（4）先將甲、乙以外的4人從6個位置中挑選4個位置進行排列共有A₆⁴種，剩下的兩個位置，左邊的就是甲，右邊的就是乙，全部排完，故共有A₆⁴=360種．
（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A₂²種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A₄⁴種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A₂²A₄⁴=48（種）．
方法二：首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有A₂²種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有A₄⁴種站法，由分步計數(shù)原理共有A₂²A₄⁴=48種站法，
（6）先把甲乙排好，有A₂²種方法，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，方法有A₄²種．
把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，方法有A₃³種．
根據(jù)分步計數(shù)原理，求得甲、乙之間間隔兩人的排法共有 A₂²A₄²A₃³=144（種）

點評 本題主要考查排列組合的實際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．相鄰的問題用捆綁法，不相鄰的問題用插空法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一個中檔題目