Question

4．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為M，且△MF₁F₂為面積是1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l：y=-x+m與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸相切，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得M，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，由等腰直角三角形得$\frac{1}{2}$a²=1，b=c，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式可得|AB|，AB為直徑的圓與y軸相切可得半徑r=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{2}{3}$|m|，
解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）由題意可得M（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由△MF₁F₂為面積是1的等腰直角三角形得$\frac{1}{2}$a²=1，b=c，
且a²-b²=c²，
解得$b=c=1，a=\sqrt{2}$，
則橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\-x+m=y\end{array}\right.⇒3{x^2}-4mx+2{m^2}-2=0$，
即有△=16m²-12（2m²-2）＞0，即為-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，
x₁+x₂=$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{2m}{3}$，
|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{8{m}^{2}-8}{3}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3-{m}^{2}}$，
以AB為直徑的圓與y軸相切，
可得半徑r=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{2|m|}{3}$，
即為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3-{m}^{2}}$=$\frac{2|m|}{3}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
則m的值為±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用等腰直角三角形的定義和基本量的關(guān)系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式和弦長(zhǎng)公式，考查直線和圓相切的條件，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．