Question

7．已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（4，-\sqrt{10}）$．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}}\\{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{10}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）由雙曲線C的方程，能求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程．

解答 解：（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵雙曲線離心率為$\sqrt{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（4，-\sqrt{10}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}}\\{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{10}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=b²=6，
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（Ⅱ）∵雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為${A}_{1}（-\sqrt{6}，0），{A}_{2}（\sqrt{6}，0）$，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為${F}_{1}（-2\sqrt{3}，0），{F}_{2}（2\sqrt{3}，0）$，
漸近線方程為y=±x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程、雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．