Question

15．給出下列命題：
（1）終邊在y軸上的角的集合是$\{α|α=\frac{kπ}{2}，k∈{Z}\}$；
（2）把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到的函數(shù)解析式可以表示成$f（x）=2sin2（x+\frac{π}{6}）$；
（3）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}$|的值域是[-1，1]；
（4）已知函數(shù)f（x）=2cosx，若存在實數(shù)x₁，x₂，使得對任意的實數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為2π．
其中正確的命題的序號為（2）．

Answer 1

分析 （1）終邊在y軸上的角的集合是{α|$α=2kπ+\frac{π}{2}$或$α=2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z}={α|α=$\frac{2k+1}{2}π$}，即可判斷出正誤；
（2）把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到的函數(shù)解析式可以表示成g（x）=$2sin2（x+\frac{π}{6}）$，即可判斷出正誤；
（3）由于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}$|=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥0}\\{0，sinx＜0}\end{array}\right.$，即可得出值域是[0，1]，進而判斷出正誤；
（4）|x₁-x₂|的最小值為$\frac{1}{2}$T，即可判斷出正誤．

解答 解：（1）終邊在y軸上的角的集合是{α|$α=2kπ+\frac{π}{2}$或$α=2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z}={α|α=kπ+$\frac{π}{2}$}={α|α=$\frac{2k+1}{2}π$}，因此不正確；
（2）把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到的函數(shù)解析式可以表示成g（x）=$2sin2（x+\frac{π}{6}）$，即$f（x）=2sin2（x+\frac{π}{6}）$，正確；
（3）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}$|=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥0}\\{0，sinx＜0}\end{array}\right.$，其值域是[0，1]，因此不正確；
（4）函數(shù)f（x）=2cosx，若存在實數(shù)x₁，x₂，使得對任意的實數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{1}{2}$T=π，因此不正確．
其中正確的命題的序號為（2）．
故答案為：（2）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．